\section{多元多项式}

\begin{frame}{多元多项式}
在前面我们讨论了一元多项式的基本性质。但是除去一元多项式外， 还有含多个
文字的多项式， 即多元多项式， 如 $x^{2}-y^{2}, x^{3}+y^{3}+z^{3}-3 x y z$ 等。 现在就来简单地介绍一下有关多元多项式的一些概念。

\pause
设 $P$ 是一个数域， $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 是 $n$ 个文字。形式为
\begin{equation*}
a x_{1}^{k_{1}} x_{2}^{k_{2}} \cdots x_{n}^{k_{n}} \tag{1}
\end{equation*}
的式子，其中 $a$ 属于 $P, k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}$ 是非负整数，称为一个\emph{单项式}。

\pause
如果两个单项式中相同文字的幂全一样， 那么它们就称为\emph{同类项}。一些单项式的和
\begin{equation*}
\sum_{k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}} a_{k_{1} k_{2} \cdots k_{n}} x_{1}^{k_{1}} x_{2}^{k_{2}} \cdots x_{n}^{k_{n}} \tag{2}
\end{equation*}
就称为 $n$ 元多项式，或者简称\emph{多项式}。

\pause
和一元多项式一样， $n$ 元多项式也可以定义相等、相加、相减、相乘。例如，
\[
  \begin{aligned}
  \left(5 x_{1}^{3} x_{2} x_{3}^{2}+4 x_{1}^{2} x_{2}^{2} x_{3}\right)+\left(2 x_{1}^{2} x_{2}^{2} x_{3}-x_{1}^{4} x_{2} x_{3}\right)&= 5 x_{1}^{3} x_{2} x_{3}^{2}+6 x_{1}^{2} x_{2}^{2} x_{3}-x_{1}^{4} x_{2} x_{3}, \\
\left(5 x_{1}^{3} x_{2} x_{3}^{2}+4 x_{1}^{2} x_{2}^{2} x_{3}\right)\left(2 x_{1}^{2} x_{2}^{2} x_{3}-x_{1}^{4} x_{2} x_{3}\right)&= 10 x_{1}^{5} x_{2}^{3} x_{3}^{3}-5 x_{1}^{7} x_{2}^{2} x_{3}^{3}+8 x_{1}^{4} x_{2}^{4} x_{3}^{2}-4 x_{1}^{6} x_{2}^{3} x_{3}^{2} .
\end{aligned}
\]

\pause
与一元的情况相仿，我们有

\begin{definition}%定义10 
  所有系数在数域 $P$ 中的 $n$ 元多项式的全体， 称为数域 $P$ 上的 $n$ 元\emph{多项式环}， 记为
\[
P\left[x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right].
\]
\end{definition}

\end{frame}

\begin{frame}
  $k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{n}$ 称为单项式 (1) 的\emph{次数}。 当一个多项式表成一些不同类的单项式的和之后，其中系数不为零的单项式的最高次数就称为这个多项式的次数。例如，多项式
\[
3 x_{1}^{2} x_{2}^{2}+2 x_{1} x_{2}^{2} x_{3}+x_{3}^{3}
\]
的次数为 $4$.

\pause
虽然多元多项式也有次数， 但是与一元多项式的情况不同， 我们并不能对多元多项式 (2) 中的单项式按次数给出一个自然排列的顺序， 因为不同类的单项式可能有相同的次数。 我们看到，一元多项式的降幂排法 (或者升幂排法) 对于许多问题的讨论是方便的。 同样地， 为了便于以后的讨论， 我们对于多元多项式也引入一种排列顺序的方法，这种方法是模仿字典排列的原则得出的， 因而称为字典排列法。

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每一类单项式 (1) 都对应一个 $n$ 元有序数组
\begin{equation*}
\left(k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}\right), \tag{3}
\end{equation*}
其中 $k_{i}$ 为非负整数。 这个对应是一一对应的。 为了给出单项式之间一个排列顺序的方法，我们只要对于 $n$ 元数组 (3) 定义一个先后顺序就行了。


\end{frame}

\begin{frame}
如果数
\[
k_{1}-l_{1}, \quad k_{2}-l_{2}, \quad \cdots, \quad k_{n}-l_{n}
\]
中第一个不为零的数是正的，也就是说，有 $i \leqslant n$, 使
\[
k_{1}-l_{1}=0, \quad \cdots, \quad k_{i-1}-l_{i-1}=0, \quad k_{i}-l_{i}>0,
\]
那么，我们就称 $n$ 元数组 (3) \emph{先于} $n$ 元数组
\begin{equation*}
\left(l_{1}, l_{2}, \cdots, l_{n}\right), \tag{4}
\end{equation*}

\pause
并记为
\[
\left(k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}\right)>\left(l_{1}, l_{2}, \cdots, l_{n}\right) .
\]
例如，
\[
(1,3,2)>(1,2,4).
\]
\end{frame}

\begin{frame}


由定义立即看出，对于任意两个 $n$ 元数组 (3), (4), 关系
\[
  \begin{aligned}
  \left(k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}\right)& >\left(l_{1}, l_{2}, \cdots, l_{n}\right), \\
\left(k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}\right)& =\left(l_{1}, l_{2}, \cdots, l_{n}\right), \\
\left(l_{1}, l_{2}, \cdots, l_{n}\right)& >\left(k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}\right)
\end{aligned}
\]
中有一个且仅有一个成立。
\pause
同时，关系 ``>'' 具有传递性，即如果
\[
  \begin{aligned}
  & \left(k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}\right)>\left(l_{1}, l_{2}, \cdots, l_{n}\right), \\
& \left(l_{1}, l_{2}, \cdots, l_{n}\right)>\left(m_{1}, m_{2}, \cdots, m_{n}\right),
\end{aligned}
\]
那么 $\left(k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}\right)>\left(m_{1}, m_{2}, \cdots, m_{n}\right)$. 事实上， 由 $k_{i}-m_{i}=\left(k_{i}-l_{i}\right)+\left(l_{i}-m_{i}\right)$ 即得上面的结论。 
\pause
因之， 这样的确给出了 $n$ 元数组之间的一个顺序。
\pause
相应地， 单项式之间也就有了一个先后顺序。例如多项式
\[
2 x_{1} x_{2}^{2} x_{3}^{2}+x_{1}^{2} x_{2}+x_{1}^{3}
\]
按字典排列法写出来就是
\[
x_{1}^{3}+x_{1}^{2} x_{2}+2 x_{1} x_{2}^{2} x_{3}^{2} .
\]
\pause
按字典排列法写出来的第一个系数不为零的单项式称为多项式的\emph{首项}。 例如， $x_{1}^{3}$就是上面这个多项式的首项。应该注意，首项不一定具有最大的次数。当 $n=1$ 时，字典排列法就归结为以前的降幂排法。

\end{frame}

\begin{frame}


对于字典排列法， 我们有


\begin{theorem}%定理14 
  \label{11A}
当 $f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \neq 0, g\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \neq 0$ 时， 乘积 $f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ $g\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 的首项等于 $f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 的首项与 $g\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 的首项的乘积。
\end{theorem}

\pause
  \begin{proof}
  设 $f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 的首项为
\[
a x_{1}^{p_{1}} x_{2}^{p_{2}} \cdots x_{n}^{p_{n}}, \quad a \neq 0,
\]
$g\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 的首项为
\[
b x_{1}^{q_{1}} x_{2}^{q_{2}} \cdots x_{n}^{q_{n}}, \quad b \neq 0 .
\]
为了证明它们的积
\[
a b x_{1}^{p_{1}+q_{1}} x_{2}^{p_{2}+q_{2}} \cdots x_{n}^{p_{n}+q_{n}}
\]
为 $f g$ 的首项，只要证明
\[
\left(p_{1}+q_{1}, p_{2}+q_{2}, \cdots, p_{n}+q_{n}\right)
\]
先于乘积中其他单项式所对应的有序数组就行了。 事实上，
\[
f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) g\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)
\]
中其他单项式所对应的有序数组是

\end{proof}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{proof}[续]
\[
\left(p_{1}+k_{1}, p_{2}+k_{2}, \cdots, p_{n}+k_{n}\right),
\]
或者
\[
\left(l_{1}+q_{1}, l_{2}+q_{2}, \cdots, l_{n}+q_{n}\right),
\]
或者
\[
\left(l_{1}+k_{1}, l_{2}+k_{2}, \cdots, l_{n}+k_{n}\right),
\]
其中
\[
  \begin{aligned}
  & \left(p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{n}\right)>\left(l_{1}, l_{2}, \cdots, l_{n}\right), \\
& \left(q_{1}, q_{2}, \cdots, q_{n}\right)>\left(k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}\right) .
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
\left(p_{1}+q_{1}, p_{2}+q_{2}, \cdots, p_{n}+q_{n}\right) & >\left(p_{1}+k_{1}, p_{2}+k_{2}, \cdots, p_{n}+k_{n}\right)
\quad \text{与}\\
\left(p_{1}+q_{1}, p_{2}+q_{2}, \cdots, p_{n}+q_{n}\right) & >\left(l_{1}+q_{1}, l_{2}+q_{2}, \cdots, l_{n}+q_{n}\right)
\end{aligned}
\]
是显然的。
同样有
\[
\left(l_{1}+q_{1}, l_{2}+q_{2}, \cdots, l_{n}+q_{n}\right)>\left(l_{1}+k_{1}, l_{2}+k_{2}, \cdots, l_{n}+k_{n}\right) .
\]
由传递性即得
\[
\left(p_{1}+q_{1}, p_{2}+q_{2}, \cdots, p_{n}+q_{n}\right)>\left(l_{1}+k_{1}, l_{2}+k_{2}, \cdots, l_{n}+k_{n}\right) .
\]
这就证明了 $a b x_{1}^{p_{1}+q_{1}} x_{2}^{p_{2}+q_{2}} \cdots x_{n}^{p_{n}+q_{n}}$ 不可能与乘积中其他的项同类而相消， 且先于其他所有的项，因而它是首项。
\end{proof}

\end{frame}

\begin{frame}
用数学归纳法立即得出

\begin{corollary}%推论1 
如果 $f_{i} \neq 0(i=1,2, \cdots, m)$, 那么 $f_{\mathrm{b}} f_{2} \cdots f_{m}$ 的首项等于每个 $f_{i}$ 的首项的乘积。 
\end{corollary}

\pause
定理~\ref{11A}~的结论显然包含着

\begin{corollary}%推论2 
如果 $f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \neq 0, g\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \neq 0$, 那么
\[
f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) g\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \neq 0.
\]
\end{corollary}

\pause
多项式
\[
f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\sum_{k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}} a_{k_{1} k_{2} \cdots k_{n}} x_{1}^{k_{1}} x_{2}^{k_{2}} \cdots x_{n}^{k_{n}}
\]
称为 \emph{$m$ 次齐次多项式}，如果其中每个单项式全是 $m$ 次的。例如，
\[
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1} x_{2} x_{3}^{2}+x_{1}^{2} x_{2}^{2}+3 x_{1}^{4}
\]
就是一个 $4$ 次齐次多项式。

\pause
显然，两个齐次多项式的乘积仍是齐次多项式，它的次数就等于这两个多项式的次数之和。

\end{frame}

\begin{frame}
任何一个 $m$ 次多项式 $f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 都可以唯一地表示成
\[
f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\sum_{i=0}^{m} f_{i}\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right),
\]
其中 $f_{i}\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 是 $i$ 次齐次多项式。 $f_{i}\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 称为 $f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 的 \emph{$i$ 次齐次成分}。


\pause
如果
\[
g\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\sum_{j=0}^{1} g_{j}\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)
\]
是一个 $l$ 次多项式，那么乘积
\[
h\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) g\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)
\]
的 $k$ 次齐次成分 $h_{k}\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 为
\[
h_{k}\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\sum_{i+j=k} f_{i}\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) g_{j}\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right),
\]
\pause
特别地， $h\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 的最高次齐次成分为
\[
h_{m+l}\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=f_{m}\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) g_{l}\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) .
\]
\pause
由此可知，对于多元多项式，也有乘积的次数等于因子次数的和。
\end{frame}

\begin{frame}

最后我们指出，与一元多项式一样，多元多项式也可以看作函数的表达式。
\pause
设
\[
f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\sum_{k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}} a_{k_{1} k_{2} \cdots k_{n}} x_{1}^{k_{1}} x_{2}^{k_{2}} \cdots x_{n}^{k_{n}},
\]
并设 $c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n}$ 是数域 $P$ 中的数，我们称
\[
f\left(c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n}\right)=\sum_{k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}} a_{k_{1} k_{2} \cdots k_{n}} c_{1}^{k_{1}} c_{2}^{k_{2}} \cdots c_{n}^{k_{n}}
\]
为 $f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 在 $x_{1}=c_{1}, x_{2}=c_{2}, \cdots, x_{n}=c_{n}$ 处的值。
\pause
显然， 当
\[
  \begin{aligned}
  f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)+g\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)&= h\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right), \\
f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) g\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)&= p\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)
\end{aligned}
\]
时，我们有
\[
  \begin{aligned}
  f\left(c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n}\right)+g\left(c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n}\right)&= h\left(c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n}\right), \\
f\left(c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n}\right) g\left(c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n}\right)&= p\left(c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n}\right) .
\end{aligned}
\]
\end{frame}
